Ενέργεια και Έργο

Παράδειγμα 1:
Ένα κιβώτιο αρχικά ηρεμεί πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές.
Ένας άνθρωπος τραβάει οριζόντια το κιβώτιο με σταθερή οριζόντια δύναμη F.
Λόγω της δύναμης F το κιβώτιο κινείται με επιτάχυνση a (accelaration) και αποκτά ταχύτητα v (velocity).
Επειδή το κιβώτιο κινείται, αποκτά Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx ενέργεια (Ε_{κινητική}=0,5 * Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx * Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx².
Άρα, η Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx ενέργεια του ανθρώπου μετατράπηκε σε Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx του κιβωτίου.
Με άλλα λόγια, έχουμε Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx ενέργειας από τον άνθρωπο στο κιβώτιο.

Παράδειγμα 2:
Ένα μπαλάκι μάζας m, αφήνεται να πέσει ελεύθερα (δηλ. μόνο με την επίδραση του βάρους του Β=m*g).
Λόγω της δύναμης B το μπαλάκι πέφτει (κινείται κατακόρυφα) με Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx (επιτάχυνση της βαρύτητας) και
αποκτά Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx (velocity).
Επειδή το μπαλάκι κινείται, αποκτά κινητική ενέργεια (Ε_{κινητική}=Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx * μάζα m * ταχύτητα v²).
Όμως, κάθε σώμα που έχει βάρος B και βρίσκεται σε ύψος h από κάποιο οριζόντιο επίπεδο έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια
Ε_{δυναμική}= Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx·h = Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx·h. (Η βαρυτική δυναμική ενέργεια υπολογίζεται σε σχέση με μια οριζόντια επιφάνεια από την οποία ξεκινάμε να μετράμε το ύψος). Δηλαδή το μπαλάκι κερδίζει τόση κινητική ενέργεια όση είναι η Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx που χάνει όσο πέφτει.
Με άλλα λόγια, συμβαίνει Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx της Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx δυναμικής του ενέργειας σε κινητική ενέργεια.

Με ποιον τρόπο υπολογίζουμε:
α) την ενέργεια που Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx από ένα σώμα A σε ένα άλλο σώμα Β, ή
β) την ενέργεια που Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx από μια μορφή σε μια άλλη;
Απάντηση:
Με το έργο W (Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx) της Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx ΣF που ασκείται σε ένα σώμα,
δηλαδή με το γινόμενο ΣF επί τη μετατόπιση x του σημείου εφαρμογής της ΣF κατά τη διεύθυνσή της.
Δηλαδή, Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx = Συνισταμένη Δύναμη Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx * μετατόπιση Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx
όπου η διεύθυνση της Συνισταμένης Δύναμης είναι Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx με τη διεύθυνση της μετατόπισης.

Στο 2ο παράδειγμα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός σώματος είναι ίση με το έργο της Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx που το ανύψωσε.
Δηλαδή: Ε_{δυναμική} = W = Β·h.

Σε κάθε μετατόπιση ενός σώματος, το συνολικό έργο W των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα,
είναι ίσο με τη Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx της Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx ενέργειας του σώματος (Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας):

Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx = Ε_{κινητική τελική} - Ε_{κινητική αρχική}
ή
Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx * μάζα m * Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx² - 0,5 * μάζα m * Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx² =
Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx ΣF * Έργο WΣυνισταμένη ΔύναμηΣFίδιααρχική ταχύτητα vβαρυτικήςδυναμική ενέργειαδύναμηςεπιτάχυνση gκινητικήκινητική ενέργειακινητικήςμάζα mμεταβολήμετατρέπεταιμετατροπήμετατόπισημεταφέρεταιμεταφοράσυνισταμένης δύναμηςταχύτητα vτελική ταχύτητα vχημική0,5Bm·gWorkx x